1차 미분방정식 예제

대체 – 이 섹션에서는 마지막 섹션이 중단된 부분을 선택하고 몇 가지 미분 방정식을 해결하는 데 사용할 수 있는 몇 가지 다른 대체를 살펴보겠습니다. 특히 우리는 형식의 미분 방정식을 해결하기 위해 솔루션을 사용하여 설명합니다 (y` = F (frac{y{x}))와 (y` = G (ax + by)). 원래 방정식이 비균질적()이면 매개변수 변형 방법으로 특정 해법을 찾습니다. 일반적인 해결책은 그 곡선의 의미는 무엇입니까? 그들은 방정식 dy dx에 대한 솔루션입니다 – y x = 유효의 1 간격 – 이 섹션에서 우리는 타당성의 간격뿐만 아니라 첫 번째 순서 미분 방정식에 대한 존재와 고유성 질문에 대한 답변을 심층적으로 살펴 줄 것이다. 위의 방정식에서 우리는 원래 방정식을 복구 (필요에 따라, 양식 Ex 17.1.1.13 물류 방정식을 해결 $dot{y} = ky (M-y)$. (이것은 대부분의 경우 간단한 $dot y=ky$보다 다소 더 합리적인 인구 모델입니다.) $M=1000$, $k=0.002$, $y(0)=1$$M 때 솔루션그래프를 이 방정식에 스케치합니다. (답변) 여기서 $F$는 $t$, $y$, $dot{y}$로 레이블을 지정하는 세 가지 변수의 함수입니다. $dot{y} $는 $t$ 및 $y 필요는 없지만 방정식에 명시적으로 나타납니다. „첫 번째 순서`라는 용어는 $y 달러의 첫 번째 파생 상품이 나타나지만 더 높은 순서 파생 상품은 나타나지 않는다는 것을 의미합니다. Ex 17.1.1 다음 방정식 중 어떤 방정식이 분리될 수 있습니까? 또한 지금까지 보았듯이 미분 방정식에는 일반적으로 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

이상적으로는 항상 그렇지는 않지만 해당 초기 값 문제에는 하나의 솔루션만 있는 것이 아닙니다. 알 수 없는 상수가 남아 있지 않은 솔루션을 특정 솔루션이라고 합니다. 먼저 예제에서와 같이 작성하여 얻은 특성 방정식을 해결하면 $$int {1over g(y)},dy=int f(t),dt.$$$이 기법으로 변환하여 분리 가능한 방정식을 해결하려고 시도할 수 있습니다. 가장 간단한(원칙적으로) 분리 방정식은 $g(y)=1$이며, 이 경우 $$int 1, dy=int f(t),dt.$$ $f(t)$의 항미분체를 찾을 수 있다면 이 작업을 수행할 수 있습니다.

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